Soal dan Pembahasan Metode Eliminasi

1. Dengan menggunakan metode eliminasi, carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini.

3x - y = 9

2x + y = 16

Jawab:

Dari kedua persamaan di atas, kita bisa melihat bahwa koefisien yang sama dimiliki oleh peubah (variabel) y. Dengan demikian, variabel y dapat kita eliminasi (hilangkan) dengan cara dijumlahkan, sehingga nilai x bisa kita tentukan dengan cara berikut ini.

3x - y	=	9
2x + y	=	16	+
5x	=	25
x	=	5

Selanjutnya, kita akan menentukan nilai y dengan cara mengeliminasi variabel x. Untuk dapat mengeliminasi variabel x, maka kita harus menyamakan koefisien x dari kedua persamaan. Perhatikan penjelasan berikut.

3x - y = 9 → koefisien x = 3

2x + y = 16 → koefisien x = 2

Agar kedua koefisien x sama, maka persamaan pertama kita kali dengan 2 sedangkan persamaan kedua kita kali dengan 3. Setelah itu, kedua persamaan kita kurangkan. Perhatikan langkah berikut.

3x - y	=	9	|× 2|	→	6x - 2y	=	18
2x + y	=	16	|× 3|	→	6x + 3y	=	48	−
					-5y	=	-30
					y	=	6

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 5 dan y = 6 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {5, 6}.

2.  Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear di bawah ini menggunakan metode eliminasi.

3x + 4y = 11

x + 2y = 5

Jawab:

Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan kedua dengan 3 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

3x + 4y	=	11	|× 1|	→	3x + 4y	=	11
x + 2y	=	5	|× 3|	→	3x + 6y	=	15	−
					-2y	=	-4
					y	=	2

Untuk mengeliminasi y, maka kalikan persamaan pertama dengan 2 dan kalikan persamaan kedua dengan 4 agar koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai x sebagai berikut.

3x + 4y	=	11	|× 2|	→	6x + 8y	=	22
x + 2y	=	5	|× 4|	→	4x + 8y	=	20	−
					x	=	1

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 1 dan y = 2 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {2, 0}.

3. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini dengan menggunakan metode eliminasi.

2x - 3y = 6

x - 2y = -2

Jawab:

Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan kedua dengan 2 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita kurangkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

2x - 3y	=	6	|× 1|	→	2x - 3y	=	6
x - 2y	=	- 2	|× 2|	→	2x - 4y	=	- 4	−
					y	=	10

Selanjutnya, untuk mengeliminasi y, maka kalikan persamaan pertama dengan 2 dan kalikan persamaan kedua dengan 3 agar koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai x sebagai berikut.

2x + 3y	=	6	|× 2|	→	4x + 6y	=	12
x + 2y	=	2	|× 3|	→	3x + 6y	=	6	−
					x	=	6

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = 10 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {6, 10}.

4. Dengan menggunakan metode eliminasi, carilah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini.

x – 2	+	y	=	3
5

x	+	y + 4	=	8
		3

Jawab:

Kedua bentuk SPLDV di atas belum baku, karena itu, perlu diubah terlebih dahulu menjadi bentuk baku. Caranya adalah persamaan pertama kita kalikan 6 pada kedua ruasnya sedangkan persamaan kedua kita kalian 3 pada kedua ruasnya, sehingga menghasilkan persamaan berikut ini.

Pembilang:

x – 2 + 5y = 15

x + 4y = 15 + 2

x + 4y = 17 ….………. Pers. (1) 

Penyebut:

3x + y + 4 = 24

3x + y = 24 – 4

3x + y = 20 ….………. Pers. (2)

Dengan demikian, sistem persamaan semula ekuivalen dengan SPLDV berikut ini.

x + 4y = 17

3x + y = 20

Selanjutnya, SPLDV yang terakhir ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi yaitu sebagai berikut:

Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

x + 4y	=	17	|× 3|	→	3x + 12y	=	51
3x + y	=	20	|× 1|	→	3x + y	=	20	−
					11y	=	31
					y	=	31/11

Untuk mengeliminasi y, maka kalikan persamaan kedua dengan 4 agar koefisien y kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai x sebagai berikut.

x + 4y	=	17	|× 1|	→	x + 4y	=	17
3x + y	=	20	|× 4|	→	12x + 4y	=	80	−
					-11x	=	-63
					x	=	63/11

Dengan demikian, kita peroleh bahwa nilai x = 6 dan y = 2 sehingga himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {6, 2}.

5.  Andi membeli 3 buku tulis dan 2 pensil seharga Rp10.500,00, sedangkan Didit membeli  2 buku tulis dan 3 pensil seharga Rp8.500,00. Jika Anita membeli buku dan pensil, maka ia harus membayar sebesar....

$\cdots \cdot$

A. Rp 2.600,00                                                     C. Rp 4.600,00

B. Rp 4.500,00                                                     D. Rp 2.500,00

Jawab:

Misalkan: x = harga 1 buku tulis

                 y = harga 1 pensil

Sehingga dapat dibentuk model matematika SPLDV sebagai berikut.

3x + 2y = 10.500 ….………. Pers. (1)

2x + 3y = 8.500 …....………. Pers. (2) 

Untuk mengeliminasi x, kalikan persamaan pertama dengan 2 dan kalikan persamaan kedua dengan 3.  Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

3x + 2y

=

10.500

|× 2|

→

6x + 4y

=

21.000

2x + 3y	=	8.500	|× 3|	→	6x + 9y	=	25.500	−
					- 5y	=	-4.500
					y	=  900

Untuk mengeliminasi y, kalikan persamaan pertama dengan 3 dan kalikan persamaan kedua dengan 2.  Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

3x + 2y

=

10.500

|× 3|

→

9x + 6y

= 25.500

2x + 3y	=	8.500	|× 2|	→	4x + 6y	= 17.000		−
					5x	= 8.500
					x	=  1.700

Jadi, jika Anita membeli buku dan pensil, maka ia harus membayar sebesar x + y = 1.700,00 + 900,00 = 2.600,00 (A)