Soal dan Pembahasan Metode Gabungan

1. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel berikut dengan menggunakan metode gabungan (eliminasi dan substitusi)

x + y = 7

x – y = 3

Pembahasan:

x + y = 7….………. Pers. (1) 

x – y = 3….………. Pers. (2) 

Dari kedua persamaan di atas, bisa kita lihat bahwa koefisien x pada kedua persamaan sudah sama, maka kita dapat mengeliminasi variabel x dengan cara mengurangi persamaan tersebut.

x+ y	=	7
x – y	=	3	−
2y	=	4
y	=	2

Selanjutnya, kita dapat memperoleh nilai x dengan cara mensubtitusikan nilai y ke salah satu persamaan, seperti

x - y = 3

x - 2 = 3

x = 3 + 2

x = 5

Sehingga, diperoleh bahwa himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas adalah {5, 2}.

2. Diketahui sistem persamaan 2x – 4y = 2 dan 2x – y = -4. Tentukan himpunan penyelesainnya dengan menggunakan metode campuran (eliminasi dan substitusi)

Pembahasan:

2x – 4y = 2….………. Pers. (1) 

2x – y = -4….………. Pers. (2) 

Dari kedua persamaan tersebut, dapat dilihat bahwa x pada kedua persamaan memiliki nilai koefisien yang sama, maka kita dapat mengeliminasi (mengurangi) kedua persamaan tersebut untuk memperoleh nilai y

2x - 4y	=	2
2x - y	=	-4	-
-3y	=	6
y	=	-2

Selanjutnya, untuk menentukan nilai x, kita substitusikan nilai y ke dalam persamaan 1 atau persamaan 2.

2x – 4y = 2

2x - 4(-2) = 2

2x + 8 = 2

2x = 2 - 8

2x = -6

x = -3

Sehingga, diperoleh himpunan penyelesaian dari persamaan di atas yaitu {-3, -2}. 

3. Dengan menggunakan metode campuran (eliminasi dan substitusi), carilah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut ini.

x - y = 8

3x + y = 12

Pembahasan:

x - y = 8 ….………. Pers. (1) 

3x + y = 12 ….………. Pers. (2) 

Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 agar koefisien x kedua persamaan sama. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

x - y	=	8	|× 3|	→	3x - 3y	=	24
3x + y	=	12	|× 1|	→	3x + y	=	12	−
					-4y	=	12
					y	=	-3

Selanjutnya, untuk menentukan nilai x, kita substitusikan nilai y ke dalam persamaan 1 atau persamaan 2.

x - y = 8

x - (-3) = 8

x + 3 = 8

x = 8 - 3

x = 5

Sehingga, diperoleh himpunan penyelesaian dari persamaan di atas yaitu {5, -3}. 

4. Diketahui 2x + 2y = 6 dan 3x + 5y = -7. Nilai x - y adalah....

Pembahasan:

2x + 2y = 6….………. Pers. (1)

3x + 5y = -7….………. Pers. (2)

Untuk mengeliminasi x, maka kalikan persamaan pertama dengan 3 dan kalikan persamaan kedua dengan 2. Selanjutnya kita selisihkan kedua persamaan sehingga kita peroleh nilai y sebagai berikut.

2x + 2y	=	6	|× 3|	→	6x + 6y	=	18
3x + 5y	=	-7	|× 2|	→	6x + 10y	=	-14	−
					-4y	=	32
					y	=	-8

Selanjutnya, untuk menentukan nilai x, kita substitusikan nilai y ke salah satu persamaan.

2x + 2y = 6

2x + 2(-8) = 6

2x - 16 = 6

2x = 6 + 16

2x = 22

x = 11

Maka, nilai dari x - y = 11 - (-8) = 11 + 8 = 19

5. Harga $2$ 3 kg gula pasir dan $3$ 3 kg beras adalah Rp33.000,00, sedangkan harga $3$2 kg gula pasir dan $3$3 kg beras adalah Rp27.000,00. Harga $1$1 kg gula pasir dan 1$1$ kg beras (masing-masing) adalah....

Pembahasan:

Langkah pertama yang harus dilakukan yaitu membuat permisalan

Misal: Harga gula pasir per kg = x

           Harga beras per kg        = y 

Setelah memisalkan, buat model matematika yang diperoleh dari soal

3x +3y = 33.000….………. Pers. (1)

2x + 3y = 27.000….………. Pers. (2)

Karena nilai y pada persamaan 1 dan persamaan 2 sama, maka dapat langsung melakukan eliminasi (mengurangi) nilai y

3x+3y	=	33.000
2x+3y	=	27.000	-
x	=	6.000

Selanjutnya, untuk mendapatkan nilai y, substitusikan nilai x kedalam persamaan 1 atau persamaan 2.

3x + 3y = 33.000

3(6.000) + 3y = 33.000

18.000 + 3y = 33.000

3y = 33.000 - 18.000

3y = 15.000

y = 5.000

Sehingga, diperoleh harga 1 kg gula pasir adalah Rp. 6.000,00 dan harga 1 kg beras adalah Rp. 5.000,00.